向量最大值问题动点的几个思路

博主： Zhuohong
发布时间：2024 年 09 月 15 日
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直接上Question

如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，
$C C_{1} = C D_{1} = \sqrt{3}, C_{1} B_{1 = 1}$
$求 \vec{C_{1} P} \cdot \vec{D_{1} P} 的最大值$

点P为线段B1C上一动点，以C1为原点建立如上图所示三维直角坐标系

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法一：

分析：P在B1C上动，其三个坐标都在变化，此时
$\vec{C_{1} P} \cdot \vec{D_{1} P}$
不好讨论，利用向量加减法和向量平行定理“化动为静”
所以
$\begin{matrix} \vec{C_{1} P} = \vec{C_{1} B_{1}} + \vec{B_{1} P} \\ ∵ \vec{B_{1} P} ∥ \vec{B_{1} C} ⟺ \vec{B_{1} P} = λ \vec{B_{1} C} \\ ∴ \vec{C_{1} P} = (0, 1, 0) + λ (0, - 1, \sqrt{3}) = (0, 1 - λ, \sqrt{3} λ) \\ 而 \vec{D_{1} P} = \vec{D_{1} C_{1}} + \vec{C_{1} P} = (- \sqrt{3}, 0, 0) + (0, 1 - λ, \sqrt{3} λ) \\ = (- \sqrt{3}, 1 - λ, \sqrt{3} λ) \\ ∴ \vec{C_{1} P} \cdot \vec{D_{1} P} = (1 - λ)^{2} + 3 λ (λ \in [0, 1]) \\ = 4 λ^{2} - 2 λ + 1 \end{matrix}$

此时得到关于点乘的一元二次函数
利用函数图像可求得最大值为3：

最后修改：2024 年 09 月 16 日

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5 条评论

axzxwisqpo 搜狗浏览器 2.X Windows 10
November 21st, 2024 at 12:42 pm

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Zhuohong Safari 604.1 iPhone 17.6
September 16th, 2024 at 02:27 pm

累迟点继续

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Zhuohong Safari 604.1 iPhone 17.6
September 16th, 2024 at 12:16 am

太困了主播先睡觉了明天再写

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向量最大值问题动点的几个思路

Zhuohong • 2024 年 09 月 15 日

<h2>直接上Question</h2><p><img src="https://cdn.flytusky.top/typecho/uploads/2024/09/2226806744.png" alt="" title="" style=""><br>如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，<br><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mi>C</mi><msub><mi>C</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mi>C</mi><msub><mi>D</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><msqrt><mn>3</mn></msqrt><mo>,</mo><msub><mi>C</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><msub><mi>B</mi><mrow><mn>1</mn><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow></msub></math><br><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mo>求</mo><mrow><mover><mrow><msub><mi>C</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mi>P</mi></mrow><mo stretchy="false">→</mo></mover></mrow><mo>⋅</mo><mrow><mover><mrow><msub><mi>D</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mi>P</mi></mrow><mo stretchy="false">→</mo></mover></mrow><mo>的最大值</mo></math></p><p>点P为线段B1C上一动点，以C1为原点建立如上图所示三维直角坐标系</p><p><div class="panel panel-default collapse-panel box-shadow-wrap-lg"><div class="panel-heading panel-collapse" data-toggle="collapse" data-target="#collapse-2eca0927296ca7ba42dc73c5bd6c06f478" aria-expanded="true"><div class="accordion-toggle"><span style="">动态演示</span>
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